Род. в многодетной семье казаха-скотовода в Урдинском районе Западно-Казахстанской области.

С 1927-го воспитывался в детских домах в поселках Урде и Сломихине, где учился в школе крестьянской молодежи. В 1933 году он поступил в Уральский государственный пединститут, по окончании которого был зачислен ассистентом кафедры математики и одновременно выдержал экзамены на заочное отделение механико-математического факультета МГУ.

В 1938 году после третьего курса А. Тайманов поступил в очную аспирантуру МГПИ, где на него большое влияние оказал выдающийся ученый и крупный педагог, член-корреспондент АН СССР А. Я. Хинчин.

Вступив добровольцем в народное ополчение, А. Тайманов попал в плен в битве за Москву, а после освобождения из концлагеря в 1944 году участвовал в боях за Белоруссию и Литву, закончил войну в Пруссии.

В 1945 году, демобилизовавшись из армии, Асан продолжил учебу в аспирантуре, где получил ряд фундаментальных результатов по теоретико-множественной топологии, легших в основу его кандидатской диссертации, названной академиком П. С. Александровым выдающейся.

В те годы в Казахстане, испытывавшем острую нехватку высококвалифицированных кадров, создавалась сеть новых высших учебных заведений. В 1947 году после окончания аспирантуры Асан Дабысович возвратился на родину и приступил к работе в Кзыл-Ординском педагогическом институте. Здесь помимо непосредственной учебной работы он организовал постоянный научный семинар по математике для студентов и ввел в практику математические конкурсы и вечера. Впервые в республике в 1951 году им были организованы городская и областная математические олимпиады. Но наиболее удивительным является то, что в это же время А. Таймановым был проведен цикл глубоких научных исследований по дескриптивной теории множеств и теоретико-множественной топологии. За период с 1947 по 1954 год им ежегодно публиковалось по одной статье в Математическом сборнике, который и по настоящее время признается одним из наиболее серьезных и престижных научных журналов по математике в мире.

В этих работах не только получены принципиальные или окончательные результаты в ряде научных направлений, но и найдены новые классы функций, изучение которых привело к созданию новых научных направлений в математике.

В 1954 году А. Тайманова приглашают на работу в Чуйский педагогический институт. Но определяющими в его дальнейшей судьбе и деятельности стали встреча и знакомство в 1956 году с выдающимся математиком, академиком А. И. Мальцевым. Именно по его приглашению он, как и ряд других перспективных ученых, переехал в только что созданный новосибирский Академгородок. Таким образом, Асан Тайманов оказался в когорте основателей знаменитого семинара "Алгебра и логика", он совмещал научную работу в Институте математики СОАН СССР с преподаванием в Новосибирском государственном университете.

В 1968-70 - академик-секретарь отделения физико-математических наук и директор Института математики и механики АН КазССР.
С 1970 - вновь в Институте математики Сибирского отделения АН СССР и продолжил курировать лабораторию алгебры и математической логики в ИММ АН КазССР и вновь открытую кафедру алгебры и математической логики в Карагандинском университете.

действительный член АН КазССР (1962)

Сын - Искандер Тайманов, - член-корреспондент Российской академии наук, математик.