Род. в г. Каракол/Барскоон, Иссык-Кульская область. Кыргыз.

После окончания в 1984 году отделения "Госбюджет" финансово-экономического техникума был принят на работу старшим экономистом в бюджетный отдел Иссык-Кульского областного финансового управления, затем, в 1985 году, переведен на должность старшего ревизора-инспектора того же управления. В 1989 году начал работу в бюджетном отделе Иссык-Кульского облфинуправления в должности старшего экономиста, а в 1991 году назначен начальником бюджетной инспекции – заместителем заведующего Пржевальским горфинотделом.

В 1992 году Элебесов Б.Д. окончил экономический факультет Кыргызского государственного университета. В этом же году назначен начальником отдела государственной налоговой инспекции по Иссык-Кульской области.

С 1992 года Элебесов Б.Д.работает в должности главного специалиста отдела кредитования и коммерческой деятельности Каракольского филиала АКБ "Кыргызстан", затем – главным госналоговым инспектором ГАИ по г. Каракол.

В 1993-1994 г.г. работал в Иссык-Кульской Главной дирекции АКБ "Кыргызстан", сначала – главным специалистом кредитного отдела, а затем – начальником отдела финансового контроля.

В 1995-1997 г.г. работает в должности специалиста по финансовым вопросам проекта "MFM" ("Муниципальные финансы и менеджмент"), а затем назначен на должность технического директора Программы "Здравреформ" (ЮСАИД).

C мая 2000 - заместитель генерального директора по экономическим вопросам Фонда обязательного медицинского страхования КР.

С апр. 2010 г. - и.о. председателя Фонда обязательного медицинского страхования;

С июня 2012 - зам. министра здравоохранения КР.

Жена: Джеенбаева Джамиля. Дети: Элебесова Асель, Элебесов Ильяс