Родился в 1892 году в семье административного ссыльного в сибирском городе Ялуторовск в нынешней Тюменской области, детство и юность провел в Харькове и Киеве.

На Первую мировую войну ушел добровольцем, прервав обучение в Петербургском психоневрологическом институте. Был ранен и контужен и в 1916 г. освобожден от службы. Кавалер ордена Св. Георгия IV степени и Георги­евской медали.

После революции получил диплом врача-невропатолога, в 1920-х гг. успешно сочетал работу по медицинской специальности со спортивными занятиями альпинизмом и горным туризмом. работал в Высшем совете по делам физкультуры и спорта, позднее - преподаватель Украинского института физкультуры. Активный пропагандист туризма и альпинизма, исследователь "белых" пятен Тянь-Шаня, организатор альпинизма в Украине, литератор.
1909 - первые восхождения в Бернских Альпах; 1916 - восхождения в окрестностях Ферганы и Алма-Аты. 1926–1936 - более 20 п/в на безымянные вершины Тянь-Шаня. В эти годы М. Погребецкий инспектор по альпинизму в УкрТурэ (отделение ОПТЭ на Украине) и руководитель рекогносцировочных (альпинистских) групп украинских комплексных экспедиций в труднодоступных районах Центрального Тянь-Шаня. Например, экспедиция 1929 года исследовала подступы к Хан-Тенгри; а экспедиция 1931 г. ставила основной целью покорение этого гиганта. Несмотря на тяжелые погодные условия и отсутствие опыта высотных восхождений у большинства участников экспедиции, ценой невероятных усилий удалось решить эту задачу. Трое восходителей - М. Погребецкий, Б. Тюрин и Ф. Зауберер - достигли вершины 11 сентября. 1932 - экспедиция на Тянь-Шань по программе 2-го Международного полярного года, в которой М. Погребецкий выполнял обязанности руководителя альпинистской группы. 1937–1941 - ст. инспектор альпинизма Комитета по делам физкультуры и спорта при Совмине УССР и начальник Украинской школы инструкторов по альпинизму, которую он организовал в ущ. Адыл-су (Ц. Кавказ, Приэльбрусье). 1941–1945 - нач. отдела альпинизма Комитета по делам физкультуры и спорта КазССР. 1942–1943 - рук. сборов по подготовке инструкторов в Казахстане. 1943–1945 - нач. школы по подго­товке военных инструкторов аль­пинизма и сборов Всовобуча в альплагере "Горельник". Со средины 1945 - нач. Среднеазиатской школы инструкторов по альпинизму. 1946–1954 - сотрудник Спорткоми­тета Украины и начальник Украинской школы инструкторов по альпинизму (альплагерь "Шахтер").
Опубликовал более 300 статей по вопросам альпинизма и написал 10 книг. За многолетнюю деятельность в альпинизме был награжден орде­ном Трудового Красного Знамени и медалью "За трудовую доблесть".
Именем М.Т. Погребецкого названы вершины в Заилийском Алатау (4219 м), Меридио-нальном хр. (6487 м) и Музкольском хр. (6000 м). Ему посвящены книги И.Е. Ветрова "Первый на Хан-Тенгри" и "Колумб небесных гор".

В сент. 1931 г. вместе с Б. Тюриным и Ф. Зауберером впервые покорил пик Хан-Тенгри.

Летом 1941 года Погребецкий вместе с супругой, известной украинской альпинисткой Верой Алексеевной был эвакуирован в Алма-Ату из Харькова, где до начала войны преподавал в Украинском институте физической культуры, возглавляя основанную при этом вузе в 1938 году Центральную школу инструкторов альпинизма.

В годы Великой Отечественной войны в Казахстане им была организована специальная школа для подготовки гор¬ных стрелков - солдат и офицеров Советской Армии.

Наряду со своей работой в республиканском Комитете по делам физкультуры и спорта, Михаил Тимофеевич в 1941-1942 гг. возглавлял Алма-атинский областной военно-учебный пункт по подготовке горных стрелков, развернутый на базе "Горельник". Именно Погребецкий был разработчиком проекта принятого 19 сентября 1942 года Советом народных комиссаров и ЦК Компартии Казахстана совместного постановления "О развитии альпинизма в республике". Наряду с расширением штатов преподавателей и слушателей действовавших к тому времени ВУПов, в этом постановлении руководству Рескомфизкульта Казахстана рекомендовалось обратиться во Всесоюзный комитет по делам физкультуры и спорта с предложением организовать в Казахстане школу инструкторов альпинизма.

Откликнувшись на это обращение, 8 марта 1943 года Правительство (Совнарком) СССР приняло постановление о создании в горах Заилийского Алатау Всесоюзной школы инструкторов горнострелковой подготовки. Школа подчинялась Всесоюзному комитету по делам физкультуры и спорта при Совнаркоме СССР и финансировалась из союзного бюджета. Продолжительность общего курса подготовки в школе должна была составлять 2-3 месяца, а каждый набор ее курсантов – 60 человек. На период их обучения на учебные нужды каждого из них предполагалось расходовать по 40 рублей и по 400 рублей на альпинистское снаряжение. Всю работу школы, учебу и взаимоотношения ее курсантов и командно-инструкторского состава надлежало строить на основе воинской дисциплины и уставов Красной Армии.

Сразу после получения решения Правительства СССР о создании школы в Казахстане начались работы по обустройству переданных ей зданий и служб туристской базы "Горельник". Одновременно М.Т. Погребецкий лично отбирал и приглашал на работу в школу строевых командиров и инструкторов по горным видам спорта, многих из которых он лично знал еще до войны.

Начальником штаба школы был назначен известный Погребецкому альпинист старший лейтенант Михаил Эдуардович Грудзинский, прибывший из Астрахани, где он лечился в госпитале после тяжелого ранения ноги. Первое время недолечившийся Грудзинский передвигался по Горельнику на костылях, но, проявив волю и настойчивость, добился права участвовать в учебно-боевых походах и восхождениях.

С 1937 - руководитель Ассоциации альпинистов Украины
(Украинской Республиканской секции альпинизма).

Мастер советского альпинизма (1934), ст. инструктор по альпинизму, заслуженный мастер спорта СССР (1939), действительный член Всесоюзного географического общества

автор пособий по альпинизму и высокогорному туризму.