Родился в Киеве. Детство его прошло в атмосфере высокого искусства, поэтому никого из родственников не удивило, когда в 1940 году он по рекомендации известного кинорежиссера А.П.Довженко поступил в Киевский институт театрального искусства.

Учиться пришлось недолго, до начала Великой Отечественной войны Леонид Лазаревич успел закончить всего два курса института. В годы войны он служил авиатехником в истребительном полку.

После демобилизации из армии в феврале 1946 года Ясиновский выступал в театрах Киева и Одессы. В течение 1950-1953 годов сменил три театра. Сначала играл в театре Махачкалы, а затем в Березняках (на Северном Урале). Больше всего запомнились ему эти годы двумя знаковыми встречами. В Махачкале судьба свела его с Иннокентием Смоктуновским, который написал на подаренной коллеге фотографии: "Бывают встречи, след в душе от которых остается надолго...".

А в Березняках Леонид Ясиновский встретил талантливую молодую актрису Тамару Александровну Варнавских, которая стала его женой, верным другом и частым партнером по театральным постановкам. В 1953 году молодая семья переехала в город Фрунзе и начала работать в Русском драматическом театре им. Крупской. К этому времени Ясиновский уже был профессиональным артистом, репертуар его был разнообразен, ему одинаково хорошо удавались как трагические, так и комические, жанровые роли.

С тех пор в театральную жизнь нашей столицы прочно вошли многие блестяще сыгранные роли Леонида Ясиновского . На сцене Русского театра драмы артист сыграл более 100 ролей.

В 1970-1980-х годах Леонид Лазаревич ставит интереснейшие спектакли: "Затюканный апостол" А. Макаенка, "Энергичные люди" В.Шукшина, "Хитроумная влюбленная" Лопе де Вега, "Принцесса и свинопас" П.Энзиката, "Ленинградский проспект" И.Штока, пьесы-сказки для детей. В 1985 году на сцене Русского драматического театра Ясиновский и О.Еркимбаева поставили пьесу "Сарынжи" К.Эшмамбетова.

Леонид Ясиновский на протяжении многих лет был членом художественного совета театра, возглавлял репертуарную комиссию, активно участвовал в военно-шефской работе и воспитании молодежи. Он обладал подлинным творческим и гражданским мужеством. В качестве примера стоит вспомнить спектакль "Равняется четырем Франциям", поставленный по одноименной драме А.Мишарина в 1982 году.

Заслуженный артист Киргизской ССР(1961),
Народный артист Киргизской ССР(1967)
Народный артист СССР (1989).