Родился 15 апреля 1904 года в Таганроге в семье инженера-электрика: его отец долгое время – до 1919 года – заведовал телефонной станцией в Ростове-на-Дону. После смерти отца в 1919 году Г.И.Леонтьев работал делопроизводителем, заведующим складом, а после (в 1923-33 гг.) инженером Управления Северо-Кавказской железной дороги. Одновременно он учился в Ростовском индустриальном техникуме по специальности электротехник. С 1933 по 1943 год Г.И. Леонтьев был начальником подстанции "Азчернэнерго".

Впоследствии Г.И. Леонтьев окончил Ростовский индустриальный комбинат (ГУЗЗ НКТП, 1930-34гг), а в период оккупации Ростова находился на ГРЭС в городе Красный Сулин, который не был захвачен немцами, и участвовал в эвакуации оборудования станции, занимая пост начальника диспетчерского отдела Управления комплектации НКЭС. Его жена и дочь эвакуировались в Ташкент. В 1943 году, после освобождения г.Ростова, Г.И. Леонтьев был назначен начальником отдела восстановления "Азчерэнерго" НКЭС и до 1947 года занимался подъемом энергохозяйства Северного Кавказа. В 1947-48 гг. Григорий Иванович работал главным инженером Ростовской ТЭЦ "Ростовэнерго", а в конце 1948 года он был назначен директором ЦЭС "Казахэнерго". В 1950 году Г.И. Леонтьев возглавил РЭУ "Омскэнерго", а в 1957 году стал начальником Управления энергетической промышленности Совнархоза Омского экономического административного района.

Г.И. Леонтьев работал главой Омской энергосистемы до 1964 года, после чего ушел на заслуженный отдых.