Род. в г. Термез. Русский.

В Красной Армии с 1919 г. Окончил 15-е Алма-Атинские кавалерийские курсы (1922), Высшую военную школу востоковедения (1926), ККУКС (1934), ВАК при Высшей военной академии им. К.Е. Ворошилова (1950).

В годы Гражданской войны красноармейцем Термезской пограничной конной разведки участвовал в боях в Восточной Бухаре. В межвоенный период командир взвода. Принимал участие в боевых действиях против басмачей в Узбекистане. С октября 1927 г. начальник разведывательной части штаба Северной группы войск в Туркменистане, начальник полковой школы, помощник начальника и начальник штаба кавалерийского полка, начальник оперативной части и помощник начальника штаба кавалерийской дивизии, командир кавалерийского полка, офицер для особых поручений при командующем войсками фронтовой группы Забайкальского военного округа, участник боев на р. Халхин-гол. В 1939 г. принимал участие в советско-финляндской войне 1939-1940 гг. С апреля 1941 г. заместитель командира 156-й стрелковой дивизии Одесского военного округа.
С началом Великой Отечественной войны Первушин командир 106-й стрелковой дивизии (июль-декабрь 1941 г.), которая участвовала в оборонительных боях в Крыму у Перекопа и Джанкоя, в обороне Керченского полуострова в октябре - ноябре 1941 г. Ко-
мандующий 51-й отдельной армией генерал-лейтенант П.И. Батов в наградном листе на комдива отмечал: "Генерал-майор А.Н. Первушин проявил организованность, упорство и добился устойчивости в своих частях, нанеся большие потери наступающему противнику. В октябре 1941 г. в боях по защите Ишуньских позиций 106-я стрелковая дивизия под командованием А.Н. Первушина успешно отбила многочисленные атаки противника, не допустив прорыва своих позиций. В оборонительных боях на подступах к г. Керчь в ноябре 1941 г. дивизия приняла на себя главный удар превосходящих сил противника и нанесла ему огромные потери в живой силе и боевой технике. В условиях тяжелой обстановки при вынужденном отходе войск армии через Керченский пролив А.Н. Первушин руководил арьергардными боями, показав при этом личный героизм и четкость управления...". А.Н. Первушин умело командовал дивизией в ходе контрнаступления войск Южного фронта под Ростовом в ноябре - декабре 1941 г., был назначен начальником Ростовского гарнизона и до середины декабря руко¬водил организацией обороны города. С декабря 1941 г. - командующий 44-й армией Закавказского (с 30 декабря 1941 г. - Кавказского) фронта, участвовал в подготовке и проведении Керченско-Феодосийской десантной операции (декабрь 1941 г. -январь 1942 г.). Под руководством А.Н. Первушина войска армии, наносившие главный удар в районе г. Феодосия, совершили организованно переход морем, в сложных штормовых условиях осуществили высадку десанта, 29 декабря овладели г. Феодосией. В ходе операции А.Н. Первушин проявил личную храбрость, умение организовать и поддерживать взаимодействие войск с кораблями флота. Приказом Верховного Главнокомандующего от 30 декабря 1941 г. за отличные боевые действия по освобождению г. Феодосии войскам 44-й армии была объявлена благодарность. 16 января г. А.Н. Первушин был тяжело ранен и после излечения признан ограниченно годным к военной службе. С августа 1943 г. заместитель командующего войсками Средне-Азиатского военного округа, с 19 августа по 11 сентября - врид командующего войсками округа. С марта 1944 г. - заместитель командующего войсками Одесского военного округа, в период с 17 по 28 октября 1944 г.- врид командующего войсками этого округа.
После войны А.Н. Первушин помощник командующего войсками Одесского военного округа по вузам. В мае 1950 г. был назначен помощником командующего войсками Приволжского военного округа по вузам. С июля 1953 г. в распоряжении ГУК МО СССР. С декабря 1953 г. в отставке.

Награжден орденом Ленина, 4 орденами Красного Знамени, орденом Кутузова II степени, медалями.

Генерал-майор (1942).

Умер в г. Москва.