Род. в с. Залесье Чечерского района Гомельской области. Белорус.

В русской армии с 1916г., рядовой. В Красной Армии с 1918г.

Окончил Военно-политическое училище (1923), Военно-политическую академию (1931), Вечерний институт Красной профессуры в Москве (1936).

Участник Первой мировой войны, воевал на Румынском фронте. В годы Гражданской войны с августа 1918г. красноармейцем 153-го стрелкового полка 17-й стрелковой дивизии воевал на Западном и Юго-Западном фронтах, в 1919 - 1920 гг. - на Восточном фронте, политработник 1-й бригады Красных коммунистов, военком батальона 10-го стрелкового полка.

В 1920-1921 гг. - на Туркестанском фронте, начальник политотдела 5-й стрелковой бригады. После войныв 1921-1922 гг. проходил службу на Туркестанском фронте в Ферганской области, начальник уездагитпрос-вета, начальник политсекретариата ряда областей.

С 1924 г. в Сибирском военном округе - секретарь партийного бюро 74-го кавалерийского полка 5-й кавалерийской бригады, ответственный секретарь партийной комиссии этой бригады. По окончании Военно-политической академии в 1931 г. назначен редактором отдела политработы журнала "Военный Вестник". С 1933 г. старший инструктор политотдела Военной академии им. М.В. Фрунзе, с 1936 г. военком курса основного факультета и преподаватель истории ВКП(б) этой же академии.
С 1939 г. - заместитель начальника политического управления Киевского Особого военного округа. В 1939 г. в этой должности в составе Украинского фронта участвовал в походе в Западную Украину.

С начала Великой Отечественной войны на базе управления Киевского Особого военного округа было сформировано полевое управления Юго-Западного фронта. Часть командно-начальствующего состава округа продолжала выполнять функции управле¬ния военного округа в г. Киев. Бригадный комиссар Е.Е. Кощеев был назначен начальником политического управления округа. С 25 августапо 18 сентября 1941 г. Е.Е. Кощеев врид командующего Киевского военного округа (до его расформирования). В связи с отступлением войск Юго-Западного фронта управление Киевского военного округа в августе 1941 г. передислоцировалось в Конотоп, затем в Сумы и Волчанск. Округ готовил резервы, обеспечивал фронту подвоз оружия и боеприпасов, боевой техники, горючего и продовольствия, а также проводил мероприятия, связанные с отводом мобилизационных ресурсов в глубь страны, эвакуацией военных складов и баз, населения и промышленных предприятий. С сентября 1941 г. Е.Е. Кощеев начальник политического отдела 4-й отдельной армии (с 17 декабря - 4-я армия Вол¬ховского фронта). Войска армии участвовали в Тихвинской насту¬пательной операции 1941 г., в результате которой был освобожден г. Тихвин. В январе - феврале 1942 г. армия участвовала в Любанской наступательной операции. В марте 1942 г. Е.Е. Кощеев был освобожден от занимаемой должности "за обман члена Военного совета" и назначен военкомом штаба Крымского фронта. В мае 1942 г. после неудачных боев в Керченской операции войска фронта были вынуждены эвакуироваться на Таманский полуостров, где были переданы Северо-Кавказскому фронту, а Е.Е. Кощеев был назначен заместителем начальника политического управления этого фронта. С сентября 1942 г. заместитель начальника политического управления Сталинградского фронта. В этой должности участвовал в Сталинградской битве. С августа 1943 г. и до конца войны начальник политического отдела 5-й ударной армии на Южном, 4-м Украинском и 1 -м Белорусском фронтах. Участвовал в Донбасской, Березнеговато-Снигиревской и Одесской, Ясско-Кишиневской. Висло-Одерской и Берлинской операциях.
После войны Е.Е. Кощеев на той же должности в Группе советских оккупационных войск в Германии. С апреля 1946 г. в распоряжении Главного политического управления Министерства Вооруженных Сил СССР. В июле 1946 г. по личной просьбе Е.Е. Кощеев переведен в Москву и назначен заместителем начальника политического управления Управления планирования боевой подготовки Сухопутных войск Министерства Вооруженных Сил СССР, с июня 1948 г. заместитель начальника по политической части управления вузов стрелковых войск Сухопутных войск Министерства Вооруженных Сил СССР. С августа 1950 г. в отставке.

Награжден орденом Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденами Суворова II степени. Отечественной войны I и II степеней, Красной Звезды, медалями, а также иностранным орденом.

Генерал-майор (1943).

Умер в г. Москва.