Родился 26 мая 1940 г. в Ташкенте УзбССР, в семье ученого, академика АН ТаджССР Раджабова Соли Ашурходжаевича (1912-1990) - организатора науки, высшего образования и юриспруденции в ТаджССР и УзбССР, выпускника Ташкентского института советского строительства и права (1933), директора Ташкентского юридического института (1936-1940; 1943-1945; 1949-1954), зав кафедрой государства и права Среднеазиатского государственного университета (САГУ) в Ташкенте (1955-1956), д-р юрид. наук (1949), профессор (1950), ректор Таджикского госуниверситета им. Ленина (1956-1971), член Президиума АН ТаджССР (1971), академик–секретарь Отделения обществ. наук АН ТаджССР (1975-1987), советник Президиума АН ТаджССР (1987-1990), зам гл. ред. Таджикской Советской Энциклопедии (1973-1975).

Раджабов Азамат Салиевич в 1957 г. окончил Ташкентскую среднюю мужскую школу, в 1962 году Таджикский государственный медицинский институт им. Сино в г. Душанбе и начал работать врачом хирургом в Душанбинской городской клинической больницы № 5 в ТаджССР. В 1972 г. принимает участие в конкурсе на должность врача-хирурга объявленной Городской клинической больницы № 67 г. Москвы, затем он становится зав отделением, зам главного врача по травматологии и ортопедии и в апреле 1985 г. главным врачом – несомненно он был достойным руководителем одной из крупных госучреждений здравоохранения столицы СССР – потом Российской Федерации. Был организатором с незаурядными качествами руководить лечебным процессом, каждым подразделением, вопросами экономико-финансового характера, направлять хозяйственную и строительную деятельность, особенно "периода реформ" 90-х годов. Ему удалось сохранить интеллектуальный и профессиональный потенциал и добрые традиции, формировавшиеся не одно десятилетие еще с советских времен, он руководил больницей 16 лет по 2001 гг. Кандидат медицинских наук, делегат XIX Всесоюзной конференции КПСС (1988).

Семья: Мать - Назарова Назира (1915-1996) - выпускница исторического факультета Ташкентского государственного педагогического института (1948-1953), работала заведующей детским садом в Ташкенте (1939-1956), зав детским садом № 17 в г. Душанбе (1956-1977).

Сестры: Раджабова Ибарури Салиевна (рожд. 1936) - выпускница Московского государственного педагогического института иностранных языков имени Мориса Тореза (1959), кандидат филологических наук (1966), доцент, переводчик (французский язык), работает в Таджикском госуниверситете им. Ленина (1959-2018). Была замужем за Исмаиловым Исмаилом Ибрагимовичем (1934-1988) - выпускник Таджикскоого госмединститута им. Сино, канд. мед. наук, работал ст. научным сотр., зав. отд. Таджикского НИИ эпидемиологии и гигиены Минpздрава ТаджССР, сын известного советского партийного и государственный деятеля, 2-й секретарь ЦК КП(б) Таджикистана (1932-1935), зав отделом культуры и пропаганды ленинизма Средне-Азиатского бюро ЦК ВКП(б) и член Исполнительной комиссии Средне-Азиатского бюро ЦК ВКП(б) (1934), член ЦК КП(б) Таджикистана (1930-1937), являлся делегатом XVI-го и XVII съездов ВКП(б), народный комиссар финансов ТаджССР (1930-1932), член Центральной контрольной комиссии КП(б) Узбекистана (1929-1930). Раджабова Дилбар (рожд. 1948) - выпускница исторического факультета ТГУ им. Ленина (1971), канд. ист. наук, доцент, работала в ТГУ (1974-2014), ученый секретарь ученого Совета по защите кандидатских и докторских диссертаций и Отечественной истории Таджикского национального университета (2000-2014). Муж Абдолов, Назарбек (рожд. 1947) - доктор филологических наук.

Жена - Лана Низамовна Мухамедиева (рожд. 1941) - выпускница ТГМИ им. Абуали ибни Сино, академик международной академии космонавтики, доктор медицинских наук, зав лабораторией ГНЦ РФ Института медико-биологических проблем Российской академии наук г. Москвы, специалист в области токсикологии, санитарной химии и мониторинга качества воздушной среды замкнутых экологических систем и пилотируемых космических аппаратов, автор более 150 научных работ и 5 изобретений.

Сын - Раджабов Фаррух Азаматович (1965-2004) - выпускник Московского автодорожного института (МАДИ) (1993), служил в звании майора милиции в ГИБДД, г. Москва (1993-2004).