Сагат Жылгелдиев в 1972 году окончил театральную студию при Казахском драматическом театре им. М. О. Ауэзова, в 1977 году – актерское отделение в Казахской национальной консерватории им. Курмангазы. С 1977 года работал актером в Казахском государственном академическом театре для детей и юношества имени Г. Мусрепова. С 1977 по 1997 год также играл в драматическом театре города Талдыкоргана. Кроме того, он был награжден орденом "Курмет" (2021) и медалью "Ерен Еңбегі үшін".

Наиболее известные актерские работы – Шеге, Байдалы би и Сердали в спектаклях Габита Мусрепова "Кыз Жибек", "Улпан" и "Ахан-Сере и Актокты" соответственно. Другие известные роли – Акын ("Ауылдан келген ару" И. Сапарбаева), Байжан ("Алтын ажал" И. Гайыпова), Абдолла ("Ен адеми келиншек" С. Балгабаева), Ходжа Ахмет Ясави ("Хазрет-Султан" О. Дастанова).