родился на хуторе Крестьянский Коротоякского уезда (сейчас территория Репьевского района) Воронежской губернии (Воронежская область) в крестьянской семье.

С 1931 года трудился в колхозе.
В 1934 году поступил в Орловский финансово-экономический техникум.
В 1936 году по окончании техникума поступил по специальному направлению в Балашовскую летную школу Гражданского воздушного флота (ГВФ) в составе 9-го набора курсантов.
После окончания с отличием летной школы был направлен на работу в Таджикское управление ГВФ.
В 1938 году стал кандидатом в члены ВКП(б).

С началом Великой Отечественной войны попросился на фронт добровольцем. С 1942 года включен в состав 105-го отдельного гвардейского авиационного полка Гражданского воздушного флота (105-й ОГАП ГВФ), привлеченного к обеспечению операций Действующей армии.
За время службы совершил более 70 ночных вылетов в тыл врага в расположение партизанских отрядов на самолете Р-5.

Пилот Таджикского управления ГВФ (на 1941)

В ночь с 10 на 11 апреля 1944 года гвардии лейтенант, летчик 105-го гвардейского авиаполка гражданского воздушного флота (ГВФ), уже седьмым рейсом вывозил из глубокого тыла врага сирот Полоцкого детского дома, спасенных белорусскими партизанами.

Над линией фронта самолет был обстрелян, кабина летчика запылала. Мамкин горел заживо, но продолжал под детский плач вести машину к своим, сумел посадить ее на лед озера близ города Велижа.

Медики полка так и не поняли, как мог человек в горящем комбинезоне вести машину, как мог в оплавленных очках - "консервах" и в чаду, заволокшем кабину, совершить посадку и перевалить полусгоревшее тело через борт, шагнуть…
Обгоревшие ноги в меховых унтах надломились. Самый взрослый мальчик из детишек, Володя Шишков, открыл дверцу кабины. Вместе с воспитательницей Валентиной Латко вынес испуганных малышей и двух тяжелораненых партизан. Все 13 человек, которых он вез в своем последнем рейсе, остались живы.

награды:
Орден Отечественной войны I степени (1943),
Орден Красного Знамени (1944),
Медаль "Партизану Отечественной войны" I степени (1944).
За проявленный беспримерный подвиг в ходе операции "Звездочка", был посмертно представлен 105-м ОГАП ГВФ к званию Герой Советского Союза. По неизвестным причинам звание Героя за последний подвиг, совершенный в ходе этой операции, Мамкину А. П. присвоено не было.